经典混沌入门
李秀林
1.引言
物理学中,混沌一词有着专门的含义,不同于我们日常生活中的“混沌”用语。对于物理学家来讲,混沌运动并不意味着这个系统变化多么“剧烈”,一个混沌系统可以按着某种光滑与有序的方式演化。混沌涉及到一个确定系统是否能长期预测的问题。很久以来,人们都相信物理规律反应了自然界中的因果关系,总是设想只要知道初始条件就可以做长期精确的预测。大约在100年前,自然界中混沌系统的发现好象破坏了这种观点。物质世界的确定性可以追溯到几千年前的古希腊,大约在公元1500年左右,因果律完全支配物质世界所有运动与结构,这种确定性开始进入现代科学。现代科学中确定性的一位关键性人物是牛顿,他发现了一系列简明的原理、定律。他向我们显示了在众多系统中能够在一个很高的精度内预测物体的运动,例如可以精确地预测行星绕太阳的运动轨道、地球上射弹路径的形状以及海洋潮汐的时间表等。现代科学重要的一点就是可以通过把物理属性表示为量化测量来理解物质世界的规律,也就是说用数值术语,而不是仅仅用语言描述,这样物理规律最终可以用数学方程来描述,而不单是用语言描述。另一方面,实验科学的一个基本事实就是实际测量不可能无限精确,而是必然包含着不确定。可以这样来理解,为了无限小精度的记录一个测量,设备需要有一个显示无限数字的输出能力。用更精确的测量仪器,测量的不确定可以达到我们希望那样小,但是永远不可能完全将其消除,所以初始条件不可能完全精确的描述。在牛顿规律描述的运动中,一个系统初始条件的不精确会产生以后任意时刻预测的不精确,不过,通常认为由于初始条件不精确性而导致的最终动力学预测的不精确会减小,越来越接近真实结果。在二十世纪,这种观念受到了挑战,人们发现对于某些系统、对于某些反应物理规律的数学方程,相差很小的初始值会导致以后非常大的偏差。正是因为如此,有些人认为“混沌”的出现是继相对论、量子力学后的第三次革命。几十年来,人们对混沌理论的研究不断深入,已包含耗散系统中的混沌,保守系统的混沌、时空混沌、量子混沌、混沌同步、混沌控制等众多分支[1-5]。在本文中,主要以三体问题、天气预报问题、生态演化问题来介绍混沌理论的提出及其特征,并以三体引力问题为例较为详细地讲述低维经典系统中混沌的一些特征。
2.经典混沌的提出及其特征
混沌学的出现,是现代科学和现代技术、特别是计算机技术相结合的产物。应该说从天文地理到数理化生,从宇宙到基本粒子,它是无处不在的。对混沌的探讨可以追溯到19世纪末庞加莱关于“三体问题”的讨论,它是确定论的试金石。根据牛顿力学,我们知道一体问题很简单(一个物体在固定的中心力场中运动);两体物体也不复杂(两个相互吸引的物体的运动问题,结果是两个物体都绕质心运动,大质量物理的轨道小一些,小质量的轨道大一些);三体问题(三个物体之间存在着吸引力)则远比人们想象的复杂得多。对于三体问题,若其中一个物体的影响很小,可以用微扰理论来近似处理,但对于大多数情况,微扰条件是不成立的。许多数学家致力于寻找三体乃至多体问题的解,“三体问题”成为天体力学中一个非常引人注目的问题。为此,1889年挪威国王曾设立一笔奖金和一枚金牌。庞加莱是十九世纪杰出的数学家,他试图求解三体问题,极具讽刺意味的是庞加莱因一篇关于三体问题无法求解的论文获得了此奖励。一体、二体问题的牛顿方程有完美“封闭形式”的解,它们是“可积的”;而三体方程则没有解析解,是“不可积的”,只能借助数值近似的方法。庞加莱发现一个厌烦的事实:当三体从差别非常小的初始位置开始运动时,它们的轨迹将描述出极为不同的路径。他写到“初始位置的差别能够导致最终现象中巨大的差异,预测变得不可能”,它是混沌系统的主要特征之一。“三体问题”是保守系统混沌的一个典型例子。
尽管一些有先见的物理学家已认识到了庞加莱发现的重要性,但由于当时大多数物理学家正在致力于量子力学的研究,所以“混沌”现象在几十年内未被整个科学界所重视。但是,美国麻省理工学院的洛伦兹(E.N.Lorenz)教授于1963年在《大气科学》杂志上发表的“决定性的非周期流”一文,则掀起了混沌研究的热潮。20世纪60年代,计算机的发展为天气预报的研究提供了可能。现代科学极为重要的一点是将物理规律用数学方程(包括常微分方程、偏微分方程等)表示出来,气象学家洛伦兹发展了一组方程来模拟天气系统,这组方程可以描述上层大气中的湍流。由于方程组的个数很多,洛伦兹对这组方程作了进一步化简,最终得到三个变量的一组常微分方程。对这组常微分方程组的数值计算告诉我们初始条件极小的差别会导致结果巨大的差异。洛伦兹将这种“对初始条件的敏感性”称为“蝴蝶效应”,即“北京的蝴蝶拍了一下翅膀足可以引起下个月纽约的一场大风暴”。洛伦兹的气象模型是耗散系统混沌的一个典型例子。对此模型进一步研究,不难发现混沌的其它特征,比如“混沌耗散系统具有奇怪吸引子(我们称去掉开始一段的暂态过程后系统在相空间中所趋向的有限区域为吸引子),通常的吸引子一般为不动点(维数为零,比如做阻尼振荡的单摆最终要收敛于静止点),封闭曲线(维数为 1),二维或三维环面等,其维数都是整数。但奇怪吸引子则收敛于有限区域内一条永不重复的线”,“自相似结构、分维”等。
从已有研究可知,对一个非线性常微分方程组描述的确定系统而言,三个变量或三个以上变量才可能出现混沌。但对于分立的系统,一个连初中生、高中生看起来都很简单的系统也会展现出极为复杂的动力学———混沌。下面是描述物种这一代与下一代数目关系的一个极为简单的迭代式:
———“倍周期分岔通向混沌”、“切分岔进入混沌”等。另一位富有传奇的人物是美国物理学家费鲍堡姆,他在20世纪70年代作了许多关于逻辑斯蒂方程的工作,他研究倍周期分岔序列,发现倍周期分岔被两个无理比率常数(收敛速度与标度因子)支配着。我们称这两个无理数为“费根鲍姆数”。当人们处理圆问题时,总是要涉及到无理数π(它的数值近似为3.1415926…),好象这个无理数和圆系统固连在一起,那么混沌系统是和费根鲍姆数固连在一起的。混沌系统是一个确定系统,它由可确定的方程来描述,却呈现出貌似随机的行为。下面以一个简单的三体问题———“两个固定的太阳与一个运动地球”(图1(b))为例较详细的理解一下混沌的一些特征。这个系统可以利用计算机得到其近似解,该思路如下:
(1)设想知道某一时刻地球的位置与速度,利用牛顿定律计算其加速度。
(2)接下来,用数值近似计算一个非常小“时间步”后地球新的位置与速度,再利用牛顿定律计算新的加速度。
(3)然后以(2)中的新位置、新速度以及新加速度为基础计算第二个“时间步”后的位置与速度。如此迭代下去,可以得到各个分立时刻的位置与速度,再将其绘制成图。如果“时间步”非常短,位置与速度接近连续,其图为近光滑的曲线。因此,只要将“时间步”取得足够的小,我们可以认为数值近似解就是真实解。
图1二体问题与三体问题的运动轨道。(a)二体问题,地球绕太阳转的轨道;(b)三体问题,两个固定太阳和一个运动地球;(c)三体问题中地球的运动轨道。
